控制系統(tǒng)中負(fù)反饋的數(shù)學(xué)原理是什么，如何用它來確保穩(wěn)定性？

負(fù)反饋可以創(chuàng)建一個(gè)控制系統(tǒng)，其中過程的輸出用于抵消與所需設(shè)定點(diǎn)的任何偏差，有效地“糾正”系統(tǒng)，使其恢復(fù)平衡，并保持穩(wěn)定運(yùn)行。它用于各種應(yīng)用，包括電壓調(diào)節(jié)、溫度控制器、音頻放大器和運(yùn)算放大器。

本文簡(jiǎn)要概述了在簡(jiǎn)單穩(wěn)壓器和更復(fù)雜的比例積分微分 （PID） 工業(yè)控制器中實(shí)現(xiàn)負(fù)反饋所涉及的數(shù)學(xué)運(yùn)算，包括如何使用波特圖和奈奎斯特準(zhǔn)則分析穩(wěn)定性。

在負(fù)反饋回路中，反饋信號(hào)與輸入信號(hào)異相，有效地抵消了輸入信號(hào)本來會(huì)做出的任何變化。這與正反饋回路形成鮮明對(duì)比，在正反饋回路中，反饋信號(hào)與輸入信號(hào)同相并加強(qiáng)變化。

簡(jiǎn)單控制系統(tǒng)和放大器的基本負(fù)反饋涉及一個(gè)反饋回路，其中輸出信號(hào)的一部分從輸入中減去。反饋環(huán)路增益 （A） 定義為 A = A?/（1 + βA?），其中 A? 是沒有任何反饋的開環(huán)增益，β 是反饋因數(shù)，表示發(fā)送回輸入端的輸出信號(hào)量。

在開關(guān)模式穩(wěn)壓器的情況下，反饋用于調(diào)制占空比和控制輸出電壓。圖 1 說明了開關(guān)模式調(diào)制的基本原理。將反饋信號(hào)與誤差放大器中的參考電壓進(jìn)行比較。接下來，將誤差放大器輸出與斜坡電壓進(jìn)行比較，以控制開關(guān)時(shí)間。

圖 1.開關(guān)穩(wěn)壓器控制環(huán)路使用分壓器提供反饋信號(hào)。（圖片：Cadence)

PID 控制器可以在動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中提供穩(wěn)健穩(wěn)定的運(yùn)行。它們也采用負(fù)反饋，但反饋計(jì)算更復(fù)雜，包括三個(gè)項(xiàng)，所有這些項(xiàng)都基于誤差信號(hào)。

1. 比例項(xiàng)只是將電流誤差乘以常數(shù) Kp.

2. 積分項(xiàng)將累積誤差乘以常數(shù) K我.

3. 導(dǎo)數(shù)項(xiàng)將誤差的變化率乘以常數(shù) Kd.

反饋回路的輸出 u（t），也稱為 e 或總誤差因子，被饋送到 PID 控制器中，以產(chǎn)生當(dāng)前周期的控制信號(hào) u（圖 2）。

圖 2.PID 控制系統(tǒng)和反饋回路的框圖。（圖片：Crystal Instruments）)

在復(fù)雜或高性能的控制應(yīng)用中，環(huán)路內(nèi)的相移會(huì)導(dǎo)致運(yùn)行不穩(wěn)定。

波特圖和穩(wěn)定性

體圖和奈奎斯特穩(wěn)定性準(zhǔn)則適用于簡(jiǎn)單的負(fù)反饋系統(tǒng)，例如具有單個(gè)控制參數(shù)的穩(wěn)壓器和具有多個(gè)控制參數(shù)的復(fù)雜工業(yè) PID 控制器。

圖 3.波特圖可用于直觀地比較增益和相位裕量。（圖片：泰克）)

在波特圖中，反饋回路的增益和相位在縱軸上繪制，與頻率在橫軸上繪制。設(shè)計(jì)人員使用波特圖來確定增益裕量，它表示達(dá)到不穩(wěn)定性所需的增益量，以及相位裕量，它表示達(dá)到不穩(wěn)定性所需的相移量（圖 3）。

當(dāng)相移接近 -180° 時(shí)，環(huán)路具有正增益 ≥ 1，并且可能會(huì)變得不穩(wěn)定。波特圖為設(shè)計(jì)人員提供了一種簡(jiǎn)單的方法來查看系統(tǒng)與該不良條件的接近程度。此外，通過對(duì)穩(wěn)壓器施加突然的負(fù)載變化并觀察輸出電壓響應(yīng)，設(shè)計(jì)人員可以評(píng)估動(dòng)態(tài)條件下的環(huán)路穩(wěn)定性。

奈奎斯特

奈奎斯特準(zhǔn)則是穩(wěn)定性分析的另一種工具。與分別顯示幅度和相位與頻率的波特圖不同，奈奎斯特圖將它們組合成一個(gè)復(fù)平面表示。

圖 4.穩(wěn)定反饋系統(tǒng)的奈奎斯特圖示例。（圖片：IEEE Open Journal of Power Electronics)

這是一種用于分析開環(huán)傳遞函數(shù)頻率響應(yīng)的圖形技術(shù)，利用拉普拉斯變換將時(shí)域中的積分和導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)換為 s 域中的簡(jiǎn)單乘法和除法（圖 4）。

總結(jié)

本文介紹了負(fù)反饋的數(shù)學(xué)原理，應(yīng)用于各種系統(tǒng)，包括穩(wěn)壓器、溫度控制器和復(fù)雜的工業(yè)過程。它還考慮了如何使用波特圖和奈奎斯特準(zhǔn)則來分析反饋和控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性。