復(fù)數(shù)與相量

在電氣工程中，用于計(jì)算電阻、電流或直流電壓疊加的數(shù)學(xué)工具是實(shí)數(shù)。

然而，在處理與頻率相關(guān)的正弦電源和矢量時(shí)，實(shí)數(shù)并非我們唯一需要的數(shù)字類型。除了常規(guī)的實(shí)數(shù)外，復(fù)數(shù)被引入以解決涉及負(fù)數(shù)的平方根（√1）的復(fù)雜方程。

在電氣工程中，這類數(shù)字被稱為“虛數(shù)”。為了區(qū)分虛數(shù)與實(shí)數(shù)，工程領(lǐng)域常用字母“j”（即j算子）表示虛數(shù)。因此，將“j”置于實(shí)數(shù)前即可標(biāo)記其為虛數(shù)運(yùn)算。

虛數(shù)示例：j3、j12、j100等。復(fù)數(shù)則由兩個(gè)不同但密切相關(guān)的部分組成——“實(shí)數(shù)部分”加“虛數(shù)部分”。

復(fù)數(shù)代表二維復(fù)平面（或稱s平面）中的點(diǎn)，該平面由兩條軸定義：水平軸稱為“實(shí)軸”，垂直軸稱為“虛軸”。復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別縮寫為Re(z)和Im(z)。

由實(shí)數(shù)（有功分量）和虛數(shù)（無(wú)功分量）構(gòu)成的復(fù)數(shù)，其加減運(yùn)算規(guī)則與初等代數(shù)分析直流電路時(shí)完全相同。

虛數(shù)加減運(yùn)算的數(shù)學(xué)規(guī)則與實(shí)數(shù)一致（例如j2+j4=j6）。唯一區(qū)別在于乘法——兩個(gè)虛數(shù)相乘會(huì)得到負(fù)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)也可視為虛部為零（標(biāo)記為j0）的復(fù)數(shù)。

j算子的值嚴(yán)格等于√1，因此連續(xù)對(duì)“j”作乘法（j×j）將依次得到以下結(jié)果：1、j和+1。由于j算子通常用于表示矢量的逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，每次連續(xù)的乘方（j2、j3等）會(huì)使矢量按固定角度90°逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（如下圖所示）。同理，若矢量乘法結(jié)果為j算子，則相位偏移為90°（即順時(shí)針旋轉(zhuǎn)）。

j算子的矢量旋轉(zhuǎn)

（圖示：復(fù)數(shù)中j算子的矢量旋轉(zhuǎn)）

因此，用j2乘以虛數(shù)會(huì)使矢量逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°，j3對(duì)應(yīng)270°，j?則旋轉(zhuǎn)360°回到原位。用j1?或j3?相乘時(shí)，矢量將按相應(yīng)角度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。每次旋轉(zhuǎn)中，矢量幅值始終保持不變。

在電氣工程中，復(fù)數(shù)可通過(guò)圖形或數(shù)學(xué)多種方式表示。其中一種基于余弦和正弦法則的方法稱為笛卡爾形式（直角坐標(biāo)形式）。

復(fù)數(shù)的直角坐標(biāo)表示

在關(guān)于相量的前篇教程中，我們了解到復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部構(gòu)成，其通用形式為：

復(fù)數(shù)格式

其中：

Z——代表矢量的復(fù)數(shù)

x——實(shí)部（有功分量）

y——虛部（無(wú)功分量）

j——定義為√1

在直角坐標(biāo)形式中，復(fù)數(shù)可表示為復(fù)平面（s平面）上的一個(gè)點(diǎn)。例如Z=6+j4對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)點(diǎn)為：實(shí)軸6，虛軸4（如下圖所示）。

復(fù)數(shù)的復(fù)平面表示

（圖示：復(fù)數(shù)在s平面中的表示）

由于直角坐標(biāo)形式中復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部均可正可負(fù)，因此實(shí)軸和虛軸均需雙向延伸。這將形成包含四個(gè)象限的復(fù)平面，稱為阿岡圖（如下圖所示）。

四象限阿岡圖

（圖示：四象限阿岡圖）

在阿岡圖中：

水平軸右側(cè)表示正實(shí)數(shù)，左側(cè)表示負(fù)實(shí)數(shù)；

垂直軸上方表示正虛數(shù)，下方表示負(fù)虛數(shù)。

由此形成的二維復(fù)平面包含四個(gè)明確象限，標(biāo)記為QI、QII、QIII和QIV。

上述阿岡圖還可用于表示旋轉(zhuǎn)相量——相量幅值為半徑的點(diǎn)在復(fù)平面中每2π/ω秒完成一整圈旋轉(zhuǎn)。

進(jìn)一步擴(kuò)展這一概念，可展示90°旋轉(zhuǎn)時(shí)復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)定義：

（圖示：復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)定義）

復(fù)數(shù)也可能存在實(shí)部或虛部為零的情況（如Z=6+j0或Z=0+j4），此時(shí)點(diǎn)直接落在實(shí)軸或虛軸上。復(fù)數(shù)的角度可通過(guò)直角三角形三角函數(shù)計(jì)算，或從正實(shí)軸開始沿阿岡圖逆時(shí)針測(cè)量。

角度劃分規(guī)則：

0°至90°位于第一象限（I）；

90°至180°位于第二象限（II）；

180°至270°位于第三象限（III）；

270°至360°位于第四象限（IV）。

各象限角度可通過(guò)公式計(jì)算：

復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算

復(fù)數(shù)的加減可通過(guò)直角坐標(biāo)形式的數(shù)學(xué)運(yùn)算或圖形化完成。加法運(yùn)算時(shí)，先將實(shí)部相加得到和的實(shí)部，再將虛部相加得到和的虛部。以下以復(fù)數(shù)A和B為例演示該過(guò)程：

復(fù)數(shù)加減法示例

（圖示：復(fù)數(shù)加減法運(yùn)算）

復(fù)數(shù)示例1

定義兩個(gè)矢量：A=4+j1，B=2+j3。分別以直角坐標(biāo)形式（a+jb）和阿岡圖求解兩矢量的和與差。

數(shù)學(xué)加減法

加法：

減法：

圖形化加減法

（圖示：圖形化加減法演示）

復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算

直角坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)乘法遵循與常規(guī)代數(shù)相似的規(guī)則，并增加j算子連續(xù)乘法的特殊規(guī)則（j2=1）。例如，將上述矢量A=4+j1與B=2+j3相乘結(jié)果如下：

數(shù)學(xué)上，直角坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)除法較為復(fù)雜，需要通過(guò)分母共軛函數(shù)將分母轉(zhuǎn)換為實(shí)數(shù)（稱為“有理化”）。因此復(fù)數(shù)除法建議采用極坐標(biāo)形式求解（后續(xù)討論）。不過(guò)，此處仍以直角坐標(biāo)形式演示矢量A除以矢量B的過(guò)程：

復(fù)數(shù)的共軛

復(fù)數(shù)的共軛（簡(jiǎn)稱共軛）是指僅改變復(fù)數(shù)虛部的代數(shù)符號(hào)，而保持實(shí)部符號(hào)不變。復(fù)數(shù)的共軛記作 z 。例如：

z = 6 + j4的共軛為 z = 6 – j4

z = 6 – j4 的共軛是 z = 6 + j4

在阿岡圖中，共軛復(fù)數(shù)與原復(fù)數(shù)在實(shí)軸上的位置相同，但在虛軸上的位置相反。因此，共軛復(fù)數(shù)可視為原復(fù)數(shù)在實(shí)軸上的鏡像反射。下圖展示了復(fù)數(shù)(6+j4)及其共軛在復(fù)平面中的表示：

共軛復(fù)數(shù)圖示

（圖示：復(fù)數(shù)及其共軛在復(fù)平面中的位置）

正如我們上面看到的，復(fù)數(shù)及其復(fù)共軛之和將始終是一個(gè)實(shí)數(shù)。然后，將復(fù)數(shù)及其共軛相加僅給出實(shí)數(shù)或有功分量的結(jié)果，而它們的減法僅給出虛數(shù)或無(wú)功分量。復(fù)數(shù)的共軛是電氣工程中用于確定使用矩形形式的交流電路的視在功率的重要元素。

復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式

與直角坐標(biāo)形式（用復(fù)平面中的點(diǎn)表示）不同，極坐標(biāo)形式通過(guò)幅值和角度描述復(fù)數(shù)，表示為：

Z = A ∠±θ

其中：

Z：極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)

A ：矢量的幅值（模）

θ ：矢量的角度（幅角），可正可負(fù)

極坐標(biāo)形式中，點(diǎn)的位置以“三角形”表示（如下圖所示），其幅值和角度與直角坐標(biāo)形式相同，可通過(guò)三角學(xué)和勾股定理計(jì)算：

極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)表示

（圖示：極坐標(biāo)形式的復(fù)數(shù)）

幅值與角度的計(jì)算

幅值（模）：

角度（幅角）：

極坐標(biāo)形式的共軛復(fù)數(shù)與原復(fù)數(shù)幅值相同，但角度符號(hào)相反。例如，6 ∠30o的共軛為6 ∠– 30o。

直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的轉(zhuǎn)換

直角坐標(biāo)形式與極坐標(biāo)形式的相互轉(zhuǎn)換

在直角坐標(biāo)系中，我們可以用水平軸（實(shí)軸）和垂直軸（虛軸或j分量軸）的坐標(biāo)來(lái)表示矢量。而在極坐標(biāo)系中，這些實(shí)軸和虛軸被簡(jiǎn)化為"A∠θ"的形式。以前文示例為基礎(chǔ)，兩種坐標(biāo)系之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系可定義如下：

極坐標(biāo)轉(zhuǎn)直角坐標(biāo)（P→R）

[插入復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)換公式圖示]

我們同樣可以進(jìn)行逆向轉(zhuǎn)換：

直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)極坐標(biāo)（R→P）

[插入復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)極坐標(biāo)圖示]

極坐標(biāo)下的乘法與除法運(yùn)算

雖然直角坐標(biāo)形式最適合進(jìn)行復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算（如前文所述），但極坐標(biāo)形式在乘除運(yùn)算中更具優(yōu)勢(shì)。進(jìn)行極坐標(biāo)矢量乘法運(yùn)算時(shí)，需先對(duì)兩個(gè)模量（幅值）進(jìn)行乘積運(yùn)算，再對(duì)其相位角進(jìn)行求和。

極坐標(biāo)乘法公式

[插入極坐標(biāo)乘法公式圖示]

示例：6∠30°與8∠-45°的極坐標(biāo)乘法運(yùn)算結(jié)果為：

[插入極坐標(biāo)乘法示例圖示]

極坐標(biāo)除法公式

同理，進(jìn)行極坐標(biāo)矢量除法時(shí)，需對(duì)兩個(gè)模量作除法運(yùn)算，再對(duì)其相位角作減法運(yùn)算：

[插入極坐標(biāo)除法公式圖示]

[插入極坐標(biāo)除法示例圖示]

現(xiàn)代科學(xué)計(jì)算器已內(nèi)置數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)換功能（詳見(jiàn)說(shuō)明書），可輕松實(shí)現(xiàn)直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的雙向轉(zhuǎn)換（R→P和P→R）。

復(fù)數(shù)的指數(shù)形式表示

截至目前，我們已探討了復(fù)數(shù)的兩種表示形式：直角坐標(biāo)形式（a+jb）和極坐標(biāo)形式（A∠±θ）。但還存在第三種表示方法——指數(shù)形式，其原理與極坐標(biāo)形式類似，均對(duì)應(yīng)正弦波的幅值和相位角，但采用自然對(duì)數(shù)底數(shù)e（e=2.718281...）來(lái)計(jì)算復(fù)數(shù)值。

指數(shù)形式通過(guò)直角三角形中的正弦（sin）和余弦（cos）三角函數(shù)來(lái)定義復(fù)平面中的旋轉(zhuǎn)點(diǎn)。這種表示方法基于瑞士數(shù)學(xué)家萊昂哈德·歐拉提出的歐拉恒等式：

指數(shù)形式公式

[插入復(fù)數(shù)指數(shù)形式旋轉(zhuǎn)相量圖圖示]

那么歐拉恒等式可以用下面在復(fù)平面上的旋轉(zhuǎn)相量圖來(lái)表示。

可以看出歐拉恒等式與極坐標(biāo)形式高度相似，表明如Ae jθ這類幅值為1的數(shù)值也屬于復(fù)數(shù)。我們不僅能將指數(shù)形式輕松轉(zhuǎn)換為極坐標(biāo)形式（例如：2e j30 = 2∠30, 10e j120 = 10∠120 ， -6e j90 = -6∠90），還能通過(guò)歐拉恒等式將指數(shù)形式轉(zhuǎn)換為直角坐標(biāo)形式。因此，復(fù)數(shù)在指數(shù)、極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)三種形式間的轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

復(fù)數(shù)形式對(duì)照

[插入復(fù)數(shù)形式關(guān)系圖示]

相量表示法

前文已探討了用復(fù)數(shù)表示旋轉(zhuǎn)矢量或靜態(tài)矢量的不同方法。相量表示法是通過(guò)構(gòu)建單一復(fù)數(shù)來(lái)描述正弦波的幅值和相位角的過(guò)程。

相量表示法（或稱相量變換）將正弦函數(shù)的實(shí)部 A(t) = Am cos(ωt ± Φ)從時(shí)域轉(zhuǎn)換到復(fù)數(shù)域（即頻域）。例如：

[插入指數(shù)形式復(fù)數(shù)示例圖示]

（注：√2將最大幅值轉(zhuǎn)換為有效值/均方根值，相位角以弧度ω表示）

復(fù)數(shù)知識(shí)總結(jié)

本節(jié)教程關(guān)于復(fù)數(shù)及其在電氣工程中的應(yīng)用總結(jié)如下：

1. 復(fù)數(shù)由實(shí)部和虛部?jī)蓚€(gè)獨(dú)立部分組成

2. 虛數(shù)通過(guò)j算子與實(shí)數(shù)區(qū)分

3. 字母"j"前綴標(biāo)識(shí)該數(shù)為復(fù)平面中的虛數(shù)

4. 根據(jù)定義，j算子j≡√-1

5. 虛數(shù)可像實(shí)數(shù)一樣進(jìn)行加減乘除運(yùn)算

6. j×j的運(yùn)算結(jié)果為j2=-1

7. 直角坐標(biāo)形式用復(fù)平面上的點(diǎn)表示復(fù)數(shù)

8. 極坐標(biāo)形式用帶幅值和相位角的線段表示復(fù)數(shù)

9. 指數(shù)形式采用自然對(duì)數(shù)底數(shù)和對(duì)應(yīng)角度表示復(fù)數(shù)

10. 復(fù)數(shù)的三種表示方法：

    Z=x+jy → 直角坐標(biāo)形式

    Z=A∠Φ → 極坐標(biāo)形式

    Z = A e jΦ→ 指數(shù)形式

11. 歐拉恒等式可實(shí)現(xiàn)指數(shù)形式到直角坐標(biāo)形式的轉(zhuǎn)換

在包括本篇在內(nèi)的系列教程中，我們了解到相量可用于表示正弦波形，其幅值和相位角能以復(fù)數(shù)形式表示。我們還發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)可采用直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)或指數(shù)形式表示，并能進(jìn)行各種代數(shù)運(yùn)算，包括加減乘除。

在接下來(lái)關(guān)于交流串聯(lián)電路相量關(guān)系的教程中，我們將探討常見(jiàn)無(wú)源電路元件的阻抗特性，并通過(guò)繪制電流相量圖和元件兩端電壓相量圖進(jìn)行分析，首先從交流電阻開始。