網格階數詳解：高階網格生成

主要內容：

·        什么是高階網格；

·        為什么網格曲線化比提升階數更重要；

·        高階網格相比于線性網格的優(yōu)勢；

·        如何從線性網格創(chuàng)建高階網格。

圖中兩個渦輪葉片是一個線性混合網格（六面體，四面體等）。高階網格的劃分能夠在一些關鍵面上在不損失網格精度的情況下降低網格數量（圖片：Cadence）

任何時候針對任何復雜系統(tǒng)進行數值模擬時，控制方程與幾何模型都需要經過不同程度的離散化處理。在 CFD 模擬中，網格劃分將系統(tǒng)幾何模型離散化，創(chuàng)建一組被用于控制方程計算的節(jié)點。現代 CFD 的一個挑戰(zhàn)是在模擬中如何做到求解高精度、網格高分辨率和低計算資源耗費的平衡。為了達到這一目標，很多網格生成方法的開發(fā)都意圖在處理復雜幾何圖形的同時不增加計算復雜性。

在 CFD 模擬使用的多種網格生成方法中，高階網格是一種能夠實現精度、分辨率和計算成本平衡的有效方法。高階網格劃分的目標是利用高階多項式曲線的優(yōu)勢為 CFD 計算創(chuàng)建網格，從而實現在復雜系統(tǒng)環(huán)境下提供比線性網格更高的精度。高階網格是如何生成的？就計算精度和計算復雜性而言又是如何在線性網格上疊加實現的？您可以在下文中找到答案。

網格階數的定義

高階網格是將相鄰的網格節(jié)點用大于 1 階（線性）的多項式曲線相連。理解高階網格最容易的方法是將其與線性網格做比較。在線性網格中，幾何圖形的網格單元是由一組連接網格節(jié)點的直線構成；而高階網格則用非線性多項式函數（如二次方程）連接網格節(jié)點，所以這項技術被稱作“網格曲線化”。

采用網格曲線化或高階網格生成技術的 CFD 網格生成軟件通常采用二次到四次多項式。如果將相同技術用于一次多項式，則會返回到線性網格，因此網格曲線化才是一種相對廣義的網格生成技術。網格曲線化有很多幾何和數學上的優(yōu)勢，但最主要的優(yōu)點還是在于計算方法。

線性網格 vs. 高階網格

下圖所示的系統(tǒng)是在葉片表面和邊界層區(qū)域使用線性網格的渦輪葉片網格分布?？梢钥吹?，在越接近葉片根部邊緣處，網格密度越高。這樣做是為了精確的模擬葉片表面彎曲形狀以及沿表面邊界層的梯度變化。在線性坐標系統(tǒng)中，梯度越靠近表面就會越大，網格密度也會隨著梯度的變大而增加。

圖中示例的線性網格可以用高階網格生成技術優(yōu)化（圖片：Cadence）

通過網格曲線化技術，我們可以生成更符合渦輪葉片表面曲度變化的網格，且無需增加網格密度。在線性網格中，高彎曲度的表面需要高密度網格才能獲得所需精度。同時，由于數值算法中的運算數量會隨著網格密度增加而規(guī)模性增加，所以運算時間也會更長。

基于線性網格創(chuàng)建高階網格

高階網格可以基于現有的線性網格通過插值法創(chuàng)建?；貧w分析被用于確定多項式模型或者等效樣條模型的系數然后用插值方法給出兩端點間的數據點，并將這些數據點賦予曲線網格以符合多項式模型。高階網格生成要將類似的過程用于線性網格（不管是結構化網格還是混合網網格），以便提取與多項式曲線相關的連續(xù)點多項式曲線。

讓我們來看下面的圖示，線性網格被用于描述有曲度變化的渦輪葉片表面。在對線性網格設定邊界條件后，利用算法將線性網格的節(jié)點與多項式曲線匹配關聯。CFD 工程師可以自行選擇最適合模擬需求的多項式網格階數。針對一些具有特殊多項式曲率的曲面，生成的多項式曲線網格也可以很好的符合葉片表面的曲度變化，且不需要線性網格那樣高密度網格節(jié)點分布。

完成相關表面的多項式曲線定義后，可以用插值法高效生成任意密度的網格。網格的精度可以通過調整插值后的網格密度或不同的插值方法來進一步優(yōu)化。下圖左可見插值后高階網格的示例。下圖右可以看到一些插值法可能在生成的插值網格中產生偽影，所以選擇正確的插值方法也是生成高精確曲線網格的關鍵。

插值后的多項式曲線網格與插值法導致偽影的線性網格（圖片：Cadence）

Cadence Pointwise 網格生成工具可以幫助 CFD 工程師創(chuàng)建復雜幾何模型高精度模擬所需要的高階網格，且不會顯著增加計算復雜性。