量子處理器上大型多體哈密頓量的Krylov對角化

多體系統(tǒng)的低能量估計(jì)是計(jì)算量子科學(xué)的基石。變分量子算法可用于在容錯(cuò)前量子處理器上準(zhǔn)備基態(tài)，但它們?nèi)狈κ諗勘ＷC和不切實(shí)際的成本函數(shù)估計(jì)數(shù)量阻止了將實(shí)驗(yàn)系統(tǒng)地?cái)U(kuò)展到大型系統(tǒng)。在預(yù)容錯(cuò)設(shè)備上進(jìn)行大規(guī)模實(shí)驗(yàn)需要變分方法的替代方案。在這里，我們使用超導(dǎo)量子處理器在多達(dá) 56 個(gè)位點(diǎn)的二維晶格上計(jì)算量子多體系統(tǒng)的本能，使用 Krylov 量子對角化算法，該算法類似于著名的經(jīng)典對角化技術(shù)。我們使用在量子處理器上執(zhí)行的 Trotterized 酉進(jìn)化來構(gòu)建多體 Hilbert 空間的子空間，并在這些子空間內(nèi)經(jīng)典地對角化多體交互哈密頓量。這些實(shí)驗(yàn)證明了對基態(tài)能量估計(jì)的指數(shù)收斂，并表明量子對角化算法已準(zhǔn)備好在量子系統(tǒng)計(jì)算方法的基礎(chǔ)上補(bǔ)充其經(jīng)典算法。

介紹

求解量子多體系統(tǒng)的薛定諤方程是凝聚態(tài)物理學(xué)、量子化學(xué)和高能物理學(xué)等領(lǐng)域許多計(jì)算算法的核心。這項(xiàng)任務(wù)的量子優(yōu)勢將對自然科學(xué)產(chǎn)生深遠(yuǎn)的影響。在使用量子計(jì)算機(jī)進(jìn)行特征態(tài)計(jì)算的方法中，迄今為止有兩個(gè)主要討論對象：量子相位估計(jì) （QPE）1,2，包括它最近的進(jìn)展（例如，refs.3、4、5） 和變分量子特征求解器 （VQE）6.前容錯(cuò)器件的實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)主要集中在 VQE 上，VQE 已在各種實(shí)驗(yàn)平臺上針對各種問題（例如 refs.6、7、8、9).然而，到目前為止，參數(shù)優(yōu)化的瓶頸阻礙了它擴(kuò)展到小型實(shí)例之外。另一方面，QPE 具有理論精度保證，但量子糾錯(cuò)對于達(dá)到有價(jià)值問題所需的電路深度是必要的，盡管已經(jīng)實(shí)現(xiàn)了一些小例子10、11、12.

這些結(jié)果在迄今為止已經(jīng)執(zhí)行的小型演示與在容錯(cuò)量子計(jì)算機(jī)上使用 QPE 或相關(guān)方法的大規(guī)模、高精度模擬之間留下了特征狀態(tài)估計(jì)方法的差距。在這項(xiàng)工作中，我們證明了 Krylov 量子對角化 （KQD）13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28，一種量子子空間對角化13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41，42，可以填補(bǔ)更普遍問題的空白。

KQD 的主要思想是使用量子計(jì)算機(jī)來近似地將哈密頓量投影到由初始參考狀態(tài)的各種時(shí)間演變跨越的 Krylov 空間中。然后將得到的低維矩陣進(jìn)行經(jīng)典對角化，以獲得近似的低位能量特征態(tài)13.這種方法與 VQE 共享變分特性（最高可達(dá)噪聲的影響），但不需要迭代參數(shù)優(yōu)化，而是依賴于單輪電路執(zhí)行，然后進(jìn)行經(jīng)典的后處理。此外，只要噪聲可以量化，該方法的準(zhǔn)確性就可以在理論上受到限制27,28 元，這意味著 KQD 在過渡到容錯(cuò)時(shí)代時(shí)可以繼續(xù)保持價(jià)值。在短期內(nèi)，對于現(xiàn)有的量子計(jì)算機(jī)來說，精度要求不那么嚴(yán)格的模擬的時(shí)間演變并不是令人望而卻步的。雖然在這種情況下量化所有誤差源的影響可能具有挑戰(zhàn)性，但 KQD 仍然作為一個(gè)啟發(fā)式方法，具有潛在的指數(shù)收斂，朝向基態(tài)能量的噪聲估計(jì)。

在這項(xiàng)工作中，我們使用 KQD 來估計(jì)海森堡模型在重六邊形晶格上的基態(tài)能量。我們表明，盡管噪聲對高精度構(gòu)成了重大障礙，但即使使用高級錯(cuò)誤緩解功能也是如此43,44 元，我們可以在多達(dá) 56 個(gè)量子比特上獲得到基態(tài)能量的收斂。

結(jié)果克雷洛夫量子對角化理論

KQD 包括兩個(gè)主要步驟。第一個(gè)是構(gòu)造矩陣的量子子例程

$${tilde{H}}_{jk}=langle {psi }_{j}|H|{psi }_{k}rangle，qquad {tilde{S}}_{jk}=langle {psi }_{j}|{psi }_{k}rangle，$$(1)

它對應(yīng)于哈密頓量投影到子空間 （{{mathcal{K}}}={{rm{Span}}}{leftvert {psi }_{0}rightrangle，ldots，leftvert {psi }_{D-1}rightrangle }）的重疊（Gram）矩陣。第二步是經(jīng)典求解投影到子空間中的與時(shí)間無關(guān)的薛定諤方程，該方程由下式給出

$$tilde{H}c=Etilde{S}c，$$(2)

其中 c 是 Krylov 空間中的坐標(biāo)向量。在整個(gè)希爾伯特空間或?qū)ΨQ扇區(qū)內(nèi)的近似基態(tài)能量為 （2） 的最低特征值。兩個(gè)不同的分量會影響近似的精度27,28 元：將完整特征值問題向下投影到子空間的內(nèi)在誤差，這與足夠低能量的狀態(tài)與子空間的重疊有關(guān)，以及任何其他算法、統(tǒng)計(jì)和硬件錯(cuò)誤。

子空間對角化方法的主要區(qū)別在于子空間的選擇。在經(jīng)典計(jì)算中，一種常見的方法是通過局部運(yùn)算符（例如費(fèi)米子的跳躍項(xiàng)）生成相關(guān)性來構(gòu)造子空間，就像在多引用配置交互中一樣45.或者，可以使用全局運(yùn)算符。例如，經(jīng)典的 Lanczos 方法采用哈密頓量的冪級數(shù)來構(gòu)造子空間 （{{{mathcal{K}}}}_{P}={{rm{Span}}}{{H}^{，j}leftvert {psi }_{0}rightrangle }），也稱為冪或多項(xiàng)式 Krylov 空間。這種結(jié)構(gòu)的主要優(yōu)點(diǎn)是，解的精度隨著子空間大小 D 的出現(xiàn)呈指數(shù)級提高46,47,48 元.經(jīng)典 Lanczos 和相關(guān)方法的限制因素是，由于需要表示糾纏量子態(tài)，它們不可避免地會受到內(nèi)存消耗的影響，內(nèi)存消耗會隨著系統(tǒng)大小呈指數(shù)級增長。

雖然已經(jīng)提出了這種方案對量子計(jì)算機(jī)的各種改編13,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,35,36,37,38,39,40,41,42，最適合近期量子計(jì)算機(jī)的是使用實(shí)時(shí)演化作為全局算子來生成 Krylov 空間：

$${{{mathcal{K}}}}_{U}={{rm{Span}}}{{U}^{， j}leftvert {psi }_{0}rightrangle }，quad j=0,1，ldots，D-1，$$(3)

其中 U = e?iH dt是某個(gè)時(shí)間步 dt 的時(shí)間演化算子13,14,15,16,17,18,21,22,23,24,25,26,27,28.這樣做的優(yōu)點(diǎn)是雙重的：首先，時(shí)間演化可以通過足夠短的深度電路來近似，以便在現(xiàn)有量子設(shè)備上實(shí)現(xiàn)。其次，可以證明，即使在存在噪聲的情況下，投影到這個(gè)酉 Krylov 空間引起的誤差也會與 Krylov 維度呈指數(shù)級快速收斂，就像在經(jīng)典的 Krylov 算法中一樣。噪聲只是貢獻(xiàn)一個(gè)額外的誤差項(xiàng)，只要它不是太大以至于完全壓倒信號27,28 元.這意味著有可能達(dá)到近似基態(tài)能量與有限維的 Krylov 空間的收斂。

雖然在量子計(jì)算機(jī)上評估 Krylov 矩陣解決了內(nèi)存問題，這是經(jīng)典方面擴(kuò)展的主要障礙，但量子方面的主要障礙是噪聲。兩個(gè)主要貢獻(xiàn)是有限散粒采樣導(dǎo)致的統(tǒng)計(jì)噪聲和器件中的硬件噪聲。來自時(shí)間演變近似的算法誤差也進(jìn)入了，但下面我們用數(shù)字表明它的影響低于硬件誤差的水平。另一方面，為了擴(kuò)大模擬的規(guī)模，抑制和減輕這些硬件錯(cuò)誤被證明是至關(guān)重要的：我們?yōu)榇四康膽?yīng)用了實(shí)驗(yàn)技術(shù)（詳見補(bǔ)充說明 4），同時(shí)保持量子電路盡可能淺，同時(shí)保持 Krylov 空間的全局耦合結(jié)構(gòu)。

為了簡化我們的電路，我們利用了許多凝聚態(tài)模型所具有的 U（1） 對稱性，包括我們關(guān)注的海森堡模型。作為量子比特運(yùn)算符，U（1） 對稱性可以表示為漢明權(quán)重守恒;就 spin-1/2 算子而言，它對應(yīng)于總自旋的 z 分量守恒。等效地，我們可以將對稱子空間視為 k 粒子子空間，將 ↑（↓） 自旋視為粒子的不存在（存在）。

圖 1 顯示了原則上可用于計(jì)算矩陣元件的電路序列 （1）。面板 （a） 顯示了標(biāo)準(zhǔn) Hadamard 檢驗(yàn)，這將是此類計(jì)算的默認(rèn)工具。圖 （b） 說明了我們?nèi)绾问褂米孕睾銇肀苊鈱?shí)現(xiàn)傳統(tǒng) Hadamard 測試中存在的受控時(shí)間演化：相反，我們實(shí)現(xiàn)了參考狀態(tài) （leftvert {psi }_{0}rightrangle） 的受控初始化，然后依賴于時(shí)間演化保持“真空態(tài)”（leftvert 00ldots 0rightrangle） 直到經(jīng)典可計(jì)算階段的事實(shí)。

圖 1：Krylov 量子對角化示意圖。

用于計(jì)算 〈 形式的矩陣元素的 Hadamard 電路ψ我∣P∣ψj〉，它依賴于 Krylov 基態(tài)的受控單一實(shí)現(xiàn)。b 通過利用對稱性（如粒子數(shù)守恒）來簡化電路。c 這項(xiàng)工作中采用的結(jié)構(gòu)。只需要一個(gè)時(shí)間演進(jìn)電路，第二個(gè)受控制備電路被吸收到測量的基礎(chǔ)上。d 經(jīng)典后處理構(gòu)造矩陣 （tilde{H}） 和 （tilde{S}），這會產(chǎn)生一個(gè)廣義特征值問題。矩陣對于 a、b 中所示的電路是 Hermitian，對于 c，它們是 Toeplitz Hermitian。請注意，由黑線括起來的對角線元素可以經(jīng)典地計(jì)算。

作為第二個(gè)簡化，我們注意到對于確切的時(shí)間演變，（langle {psi }_{0}|{U}_{j}^{{dagger} }H{U}_{k}|{psi }_{0}rangle=langle {psi }_{0}|H{U}_{k-j}|{psi }_{0}rangle） 中，它為我們提供了兩種形式上等效的方法來測量相同的矩陣元素，第二種方法產(chǎn)生了更簡單的電路，因?yàn)樗簧婕耙淮螘r(shí)間演化。然而，一旦時(shí)間演變通過 Trotterization 近似化，這兩個(gè)表達(dá)式就不再相等。在圖 .1c，我們顯示了與后一個(gè)版本相對應(yīng)的電路。

目前尚不清楚人們是否應(yīng)該更喜歡圖 b 或 c 中所示的電路。1，純粹從 Trotter 錯(cuò)誤的角度來看。圖 .1b 是它仍然對應(yīng)于子空間中的變分優(yōu)化，因?yàn)槊總€(gè)矩陣元素仍然具有 （1） 形式。然而，在存在有限樣本和器件噪聲的情況下，即使如此28.圖 1c 是顯式強(qiáng)制執(zhí)行 Toeplitz 結(jié)構(gòu)的版本，從電路深度的角度來看更可取，原因有兩個(gè)：它只需要一次演化，因此，第二次受控初始化可以作為 Clifford 變換應(yīng)用于哈密頓量中的 Pauli 可觀察對象，而不是在電路中顯式實(shí)現(xiàn)。在實(shí)踐中，由于使用了正則化技術(shù)來避免特征值問題 （2） 的不良調(diào)節(jié)，我們沒有看到這種方法對變分的顯著破壞（詳見補(bǔ)充注釋 5）。例如，我們比較了圖 1 中電路的精確經(jīng)典仿真結(jié)果。1b、c，它們將在實(shí)驗(yàn)中編譯，如圖 1 所示。2 （有關(guān)詳細(xì)信息，請參閱下一節(jié)）。圖 20 量子比特系統(tǒng)的能量曲線。3 表示變分隨著 Trotter 步數(shù)的增加而迅速恢復(fù)。這些發(fā)現(xiàn)使用圖 1 中所示的電路版本進(jìn)行激勵(lì)。1c.

圖 2：Krylov 量子對角化的量子電路。

a 每個(gè)回路在目標(biāo)粒子扇區(qū)內(nèi)執(zhí)行初始狀態(tài)的受控準(zhǔn)備，然后是 Trotterized 時(shí)間演化。b 受控制備準(zhǔn)備一個(gè)計(jì)算基態(tài)，其中漢明權(quán)重對應(yīng)于給定實(shí)驗(yàn)的粒子數(shù)，在輔助量子比特上進(jìn)行控制。由于重六邊形晶格可以是邊緣三色的（圖中顏色由紅色、綠色和藍(lán)色表示），因此可以使用三個(gè)獨(dú)特的雙量子比特門層的序列來實(shí)現(xiàn)受控準(zhǔn)備和 Trotterized 時(shí)間演化，這些層與單量子比特旋轉(zhuǎn)交錯(cuò)。有關(guān)詳細(xì)信息，請參閱正文。c 每層雙量子比特門都經(jīng)過 Pauli 旋轉(zhuǎn)，以便根據(jù)稀疏 Pauli-Lindblad 噪聲模型 Λ 定制噪聲43,44 元，前面是其擴(kuò)增 ΛG對于 PEA。請注意，源自源電路、旋轉(zhuǎn)層或噪聲放大層的單量子比特門的相鄰層始終組合在單個(gè)層中;為了清楚起見，它們未合并到圖中。CZ 層的 d （12 + 1） 量子比特示例。

圖 3： 算法誤差的數(shù)值研究。

用于數(shù)值模擬的海森堡模型的 （20 + 1） 量子比特布局，綠色和紅色圓圈表示控制和激發(fā)量子比特。b 能量與克雷洛夫空間維度。虛線和實(shí)線表示圖 1 中電路的結(jié)果。1b、c 分別。c 使用 4 個(gè)二階 Trotter 步驟，k = 5 粒子扇區(qū)具有不同 dt 和 D 的基態(tài)能量誤差 ΔE 的熱圖。白色箭頭表示 π/||H||.

大型實(shí)驗(yàn)演示

在我們的實(shí)驗(yàn)中，我們研究了自旋 1/2 反鐵磁海森堡模型，該模型將一組邊 E 定義為

$$H={sum}_{（i，j）in E}{J}_{ij}（{X}_{i}{X}_{j}+{Y}_{i}{Y}_{j}+{Z}_{i}{Z}_{j}）$$(4)

帶均勻聯(lián)軸器 J我J= 1，其中 X我、 Y我、 Z我表示第 i個(gè)站點(diǎn)上的 Pauli 矩陣。相互作用集 E 是重六邊形晶格的子集（見圖 D）。4）. 請注意，雖然重六邊形晶格是二分的，因此可以使用路徑積分蒙特卡洛方法有效地模擬整個(gè)希爾伯特空間中的基態(tài)49，符號問題通常存在于激發(fā)態(tài)中。在激發(fā)態(tài)中，我們關(guān)注幾個(gè) k 粒子子空間中能量最低的特征態(tài)。k 粒子子空間的維度為 O（Nk).請注意，電路構(gòu)造依賴于 U（1） 對稱性，而不是 SU（2） 對稱性，因此我們的方法也直接適用于 XXZ 模型。

圖 4：多體哈密頓量的實(shí)驗(yàn)對角化。

a 在系統(tǒng)大小分別為 N = 56、44 和 42 的情況下，粒子數(shù) k = 1、3 和 5 的海森堡模型的每位點(diǎn)能量。誤差線表示通過 bootstrap 估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)差。虛線表示無噪聲經(jīng)典模擬的能量，黑色實(shí)線表示給定 k 粒子子空間中的確切最低能量。b–d 量子比特布局圖。綠色和紅色圓圈分別表示粒子的控制和初始位置。例如，單個(gè)粒子數(shù) k = 1、3 和 5 的能量曲線。h–j 誤差矩陣 （Delta tilde{H}/N ：=|{tilde{H}}_{exp }-{tilde{H}}_{{{rm{num}}}}|/N） 和 （Delta tilde{S} ：=|{tilde{S}}_{exp }-{tilde{S}}_{{{rm{num}}}}|），其中下標(biāo) “exp” 和 “num” 分別表示來自實(shí)驗(yàn)和數(shù)值計(jì)算的數(shù)據(jù)

我們在三個(gè)不同的 k 粒子扇區(qū)中運(yùn)行了實(shí)驗(yàn)：k = 1、3、5。所有三種情況下的初始狀態(tài)都是計(jì)算基態(tài)，其數(shù)字為 （leftvert 1rightrangle） s，由 k 給出：例如，在單粒子情況下，（leftvert {psi }_{0}rightrangle=leftvert 00ldots 1ldots 0rightrangle）。因此，k的不同值的電路實(shí)現(xiàn)在受控準(zhǔn)備中有所不同（見圖）。1 和 2）。k = 1 情況對應(yīng)于在初始狀態(tài)下僅生成一個(gè)粒子，這可以通過控制量子比特（Hadamard 測試中的輔助）和相鄰量子比特之間的 CX 門輕松實(shí)現(xiàn)。對于 k > 1，我們?yōu)榱Ｗ舆x擇了大致均勻分布在量子比特圖上的位置。

重六邊形晶格允許對其邊緣進(jìn)行三種著色，其中每種顏色對應(yīng)于一層可以同時(shí)實(shí)現(xiàn)的雙量子比特門（見圖 D）。2）. 由于每個(gè)不同的雙量子比特層都需要自己的噪聲學(xué)習(xí)以進(jìn)行概率誤差放大 （PEA—見下文），因此最大限度地減少電路中不同層的數(shù)量是有利的。受控準(zhǔn)備電路可以使用一組雙量子比特層來實(shí)現(xiàn)，這些層對應(yīng)于重六邊形中邊緣的三種顏色，與任意層相比，開銷是恒定的（有關(guān)詳細(xì)信息，請參見補(bǔ)充說明 2）。對于我們的 Trotterized 時(shí)間演化，我們將哈密頓項(xiàng)劃分為同一組層。因此，對于每個(gè)實(shí)驗(yàn)，我們只需要學(xué)習(xí)總共三個(gè)獨(dú)特層的噪聲模型。

電路的受控初始化部分的深度與量子比特圖中兩個(gè)相距最遠(yuǎn)的初始粒子之間的距離成正比。我們使用兩個(gè)二階 Trotter 步驟來近似我們所有實(shí)驗(yàn)中的時(shí)間演變。具有三個(gè)哈密頓項(xiàng)交換組的 r 二階 Trotter 步驟需要 4 個(gè)r +1 個(gè)雙量子比特層（參見圖 b 中的面板 b）。2），在我們的例子中，電路的時(shí)間演化部分產(chǎn)生了 9 層。

為了測量對應(yīng)于 （tilde{H}） 和 （tilde{S}） 中矩陣元素的實(shí)部或虛部的可觀察量，我們將可觀察量劃分為盡可能少的局部交換集（測量基數(shù)），因?yàn)檫@些集合是可共同測量的7.縮短的電路，如圖 3 的第三行所示。1，需要第二個(gè)受控初始化電路共軛哈密頓項(xiàng) （4），因?yàn)樗鼪]有物理實(shí)現(xiàn)。這產(chǎn)生了相同數(shù)量的 Pauli 可觀察對象，因?yàn)槭芸爻跏蓟且粋€(gè) Clifford 電路，并且可以證明這些可觀察對象可以劃分為 2（k + 2） 個(gè)測量基;見補(bǔ)充說明 2。

我們在 Heron R1 處理器IBM_montecarlo上進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)。這是一個(gè) 133 量子比特設(shè)備，具有固定頻率的 transmon 量子比特，通過可調(diào)諧耦合器相互連接。與前幾代固定耦合器件相比，Heron 處理器具有更快的雙量子比特門（持續(xù)時(shí)間與單量子比特門相似）和更低的串?dāng)_。為了進(jìn)一步改進(jìn)測量的可觀察對象（參見圖 .1），我們使用了概率誤差放大 （PEA）44和旋轉(zhuǎn)讀出誤差消除 （TREX）50，以減少 SPAM 錯(cuò)誤，以近似無噪聲期望值。我們還采用了錯(cuò)誤抑制，特別是 Pauli 旋轉(zhuǎn)和動態(tài)解耦。增補(bǔ)說明 4 中提供了錯(cuò)誤緩解和抑制的詳細(xì)信息。

在我們的實(shí)驗(yàn)中，對于每個(gè)測量基礎(chǔ)，生成了一定數(shù)量的旋轉(zhuǎn)實(shí)例，然后針對不同的噪聲放大因子值重復(fù)測量每個(gè)實(shí)例。對于單粒子 （k = 1） 實(shí)驗(yàn)，我們使用了 300 個(gè)旋轉(zhuǎn)實(shí)例，每個(gè)實(shí)例 500 次拍攝，噪聲放大系數(shù)為 1、1.5、3。對于 k = 3、5，我們使用了 100 個(gè)旋轉(zhuǎn)實(shí)例，每個(gè)實(shí)例有 500 次拍攝，噪聲系數(shù)為 1、1.3、1.6。為較大的實(shí)驗(yàn)引入減少旋轉(zhuǎn)實(shí)例是為了減少總運(yùn)行時(shí)間，因?yàn)闇y量堿基的數(shù)量以及電路大小隨著 k 的增加而增加。噪聲放大因子的調(diào)整是由于較深電路中的噪聲率增加。電路的受控初始化部分涉及創(chuàng)建控制量子比特的最大糾纏狀態(tài)和初始粒子位置。隨著粒子數(shù)量的增加，這轉(zhuǎn)化為在電路開始時(shí)準(zhǔn)備的更大的最大糾纏狀態(tài)，這反過來又使結(jié)果更容易受到噪聲的影響。

在所有實(shí)驗(yàn)中，Krylov 空間的大小固定為 D = 10，以便在設(shè)備重新校準(zhǔn)過程的時(shí)間尺度 （24 h） 內(nèi)實(shí)現(xiàn)算法的總運(yùn)行時(shí)間。對于固定值 k ，實(shí)驗(yàn)在特定的量子比特子集上運(yùn)行，該子集根據(jù)設(shè)備的當(dāng)前狀態(tài)使用啟發(fā)式例程進(jìn)行選擇，以實(shí)現(xiàn)最佳量子比特映射51.k = 1 實(shí)驗(yàn)在 57 量子比特子集上執(zhí)行，k = 3 實(shí)驗(yàn)在 45 量子比特子集上執(zhí)行，k = 5 實(shí)驗(yàn)在 43 量子比特子集上執(zhí)行（布局如圖 4 所示）。4）. 后兩個(gè)部分是手工選擇的，以便在每種情況下有五個(gè)完整的重六角形。

盡管時(shí)間步長 dt 理論上具有 π/||H||27,28 元，則對低粒子數(shù)子空間的限制會改變這一點(diǎn)。因此，我們啟發(fā)式地選擇了時(shí)間步長，k = 1、3 和 5 的值分別為 0.5、0.022 和 0.1。

結(jié)果如圖 1 所示。4. 圖 a 在歸一化能量尺度上總結(jié)了結(jié)果，而 e、f 和 g 顯示了每個(gè)單獨(dú)實(shí)驗(yàn)的收斂曲線。相應(yīng)的量子比特圖分別顯示在面板 b、c 和 d 中。這些收斂曲線是評估噪聲 KQD 實(shí)驗(yàn)結(jié)果的有用診斷工具。我們從理論分析中了解到，如果誤差率足夠低，可以解析信號，即區(qū)分 Krylov 空間中的最低能量狀態(tài)和純噪聲，那么我們應(yīng)該看到能量向與真實(shí)基態(tài)能量偏移一個(gè)常數(shù)的值呈指數(shù)衰減，具體取決于誤差率27,28 元.我們的結(jié)果表明，這種行為在一定程度上會有所波動，這是意料之中的，因?yàn)槔碚摻Y(jié)果只提供了指數(shù)衰減的上限。然而，如果噪聲完全主導(dǎo)了信號，那么相對于系統(tǒng)大小，與子空間維度的收斂速率將呈指數(shù)級緩慢，因此我們不會在圖 1 中看到最初的快速收斂。4. 有關(guān)更多詳細(xì)信息，請參閱補(bǔ)充說明 4 和 5。

在我們的實(shí)驗(yàn)結(jié)果中，噪聲和算法誤差（由于 Trotter 近似以及有限的 Krylov 維數(shù)）仍然是重要的限制因素，最準(zhǔn)確的估計(jì)能量（D = 10 時(shí)）與真實(shí)值之間的差異證明了這一點(diǎn)。我們使用自舉法估計(jì)了實(shí)驗(yàn)?zāi)芰康臉?biāo)準(zhǔn)差，因?yàn)榍蠼庹齽t化、廣義特征值問題 （2） 的后處理使直接誤差傳播變得困難。這產(chǎn)生了圖 1 中的誤差線。4;有關(guān)更多詳細(xì)信息，請參閱補(bǔ)充說明 5。圖 4 還顯示了我們電路的理想經(jīng)典仿真的能量收斂曲線，這些曲線可以通過僅在受限粒子數(shù)子空間中表示向量和運(yùn)算符來實(shí)現(xiàn)。雖然由于實(shí)驗(yàn)結(jié)果的噪聲導(dǎo)致誤差線很大，但我們對兩個(gè)較大 k 值的估計(jì)能量與幾乎所有點(diǎn)的這些標(biāo)準(zhǔn)差的理想模擬曲線一致。

在 k = 1 實(shí)驗(yàn)中，結(jié)果偏離于真正的最低能量，表明噪聲已經(jīng)從 k = 1 子空間產(chǎn)生了有效的泄漏。這說明了依賴對稱守恒來保留在特定子空間中的風(fēng)險(xiǎn)，盡管研究全局基態(tài)不會受到這種擔(dān)憂。

精確對角化也可以在本實(shí)驗(yàn)中研究的 Hilbert 空間扇區(qū)中進(jìn)行，但不能在整個(gè) Hilbert 空間中進(jìn)行。然而，除了受控初始化的電路深度減小外，實(shí)驗(yàn)并未以任何方式依賴于那些特定的粒子數(shù)扇區(qū)，因此縮放沒有定性或結(jié)構(gòu)障礙，只有噪聲的影響。在我們關(guān)注的特定情況下，海森堡模型在二維重六邊形晶格上的基態(tài)，仍然可以使用張量網(wǎng)絡(luò)等經(jīng)典技術(shù)計(jì)算精確的近似值。

有人可能會問，為什么使用 KQD 而不是最近為近期或早期容錯(cuò)設(shè)置中的基態(tài)能量估計(jì)而開發(fā)的其他各種算法之一，例如，3、4、5、52.一個(gè)主要原因，除了 KQD 相對廣為人知的噪聲容忍度21,25,27,28 元，這些替代方法都從時(shí)間演化中提取特征能，而不是直接從哈密頓量本身的投影中提取特征能。在我們這樣的環(huán)境中，這是一個(gè)問題，其中 Trotter 電路隨著時(shí)間步長數(shù)量的增加而保持固定（這對于最小化電路深度是必要的），因?yàn)?Trotter 電路的頻譜與理想時(shí)間演變的頻譜不同，實(shí)際上變得周期性，周期取決于時(shí)間步長和固定的 Trotter 電路。因此，在這種約束下，隨著時(shí)間步數(shù)的增加，僅依賴于演化的算法將在某個(gè)時(shí)候停止收斂。

討論

這里介紹的 KQD 方法豐富了在前容錯(cuò)量子處理器上進(jìn)行基態(tài)估計(jì)的量子算法的前景，填補(bǔ)了 VQE 和 QPE 之間的空白。一種稱為基于樣本的量子對角化 （SQD） 的互補(bǔ)子空間算法，基于采樣和復(fù)雜的經(jīng)典后處理，使用以量子為中心的超級計(jì)算 （QCSC） 架構(gòu)53最近被用于演示超越蠻力解決方案的化學(xué)量子模擬。這種 QCSC 方法產(chǎn)生經(jīng)典可驗(yàn)證的能量，并且不需要近似時(shí)間演化，這使得它在短期內(nèi)對于包含大量項(xiàng)（例如分子哈密頓量）的哈密頓量來說很容易處理。對于凝聚態(tài)應(yīng)用，KQD 具有可證明的收斂保證，給定具有逆多項(xiàng)式重疊的初始參考狀態(tài)，并且其電路在預(yù)容錯(cuò)處理器上是可行的，如本工作所示。

為了將這項(xiàng)工作的規(guī)模與先前的基態(tài)能量實(shí)驗(yàn)量子模擬進(jìn)行比較，可以基于量子比特計(jì)數(shù)或基于使用的希爾伯特空間維度進(jìn)行比較。兩者都是相關(guān)的，因?yàn)椋?，即使我們的單粒子?shí)驗(yàn)的子空間只有 56 維，它也會產(chǎn)生 57 量子比特量子電路的誤差。我們最大的子空間維度是 5 粒子實(shí)驗(yàn)，其子空間維度為 850668，介于 19 和 20 個(gè)量子比特的完整希爾伯特空間維度之間。我們在表 1 中展示了用于基態(tài)能量模擬的端到端量子算法的最大（據(jù)我們所知）先前的實(shí)驗(yàn)演示，并通過上述兩個(gè)指標(biāo)進(jìn)行評估。請注意，我們只包括實(shí)現(xiàn)整個(gè)算法的實(shí)驗(yàn)，而不是例如，經(jīng)典地優(yōu)化 VQE 的參數(shù)，然后只在量子計(jì)算機(jī)上估計(jì)單個(gè)能量。

1. QC-QMC 是指混合量子-經(jīng)典量子蒙特卡洛算法。

如表 1 所示，我們的實(shí)驗(yàn)在量子比特方面比以前的工作高出兩倍多，在希爾伯特空間維度上比以前高出兩個(gè)數(shù)量級以上，但 ref 除外。53，它與上一段討論的適用范圍完全不同。人們可能還會注意到，這些實(shí)驗(yàn)所達(dá)到的精度差異很大，但正如我們的重點(diǎn)是如上所述，在規(guī)模上實(shí)現(xiàn)收斂，而規(guī)模的增加使我們的工作與小規(guī)模實(shí)驗(yàn)（包括一些未在表 1 中所示的實(shí)驗(yàn)）處于不同的狀態(tài)，后者實(shí)現(xiàn)了更高的準(zhǔn)確性。換句話說，這項(xiàng)工作代表了基態(tài)能量量子模擬技術(shù)的最新進(jìn)展。