正弦波形

正弦交流波形是隨時(shí)間變化的周期性波形，其參數(shù)包括電壓和頻率

正弦波形是一種周期性波形，其形狀可通過三角學(xué)中的正弦或余弦函數(shù)繪制。由正弦波形供電的電路，其極性每周期變化一次，通常稱為"交流"(AC)電壓和電流源。

當(dāng)電流流過導(dǎo)線或?qū)w時(shí)，會(huì)在導(dǎo)線周圍形成環(huán)形磁場，其強(qiáng)度與電流值相關(guān)。若使單根導(dǎo)線在靜止磁場中移動(dòng)或旋轉(zhuǎn)，由于導(dǎo)體切割磁力線，導(dǎo)體內(nèi)部會(huì)感應(yīng)出"電動(dòng)勢"(EMF)。

由此可見，電與磁之間存在關(guān)聯(lián)性，正如邁克爾·法拉第發(fā)現(xiàn)的"電磁感應(yīng)"效應(yīng)。這一基本原理被電機(jī)和發(fā)電機(jī)用來產(chǎn)生我們?nèi)粘Ｊ褂玫恼医涣麟姟?/p>

旋轉(zhuǎn)線圈

在電磁感應(yīng)教程中我們提到，當(dāng)單根導(dǎo)線切割永磁場的磁力線時(shí)，內(nèi)部會(huì)感應(yīng)出電動(dòng)勢。

然而，當(dāng)旋轉(zhuǎn)導(dǎo)體在A、B兩點(diǎn)位置與磁場平行移動(dòng)時(shí)，沒有切割任何磁力線，因此不會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢。當(dāng)導(dǎo)體在C、D兩點(diǎn)位置與磁場垂直移動(dòng)時(shí)，切割的磁力線數(shù)量最多，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢也最大。

此外，導(dǎo)體在A、C兩點(diǎn)之間(0-90°)以不同角度切割磁場時(shí)，感應(yīng)電動(dòng)勢的大小將介于零到最大值之間。因此，導(dǎo)體中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小取決于導(dǎo)體與磁力線的夾角以及磁場強(qiáng)度。

交流發(fā)電機(jī)利用法拉第電磁感應(yīng)原理，將旋轉(zhuǎn)等機(jī)械能轉(zhuǎn)化為電能——即正弦波形。簡單發(fā)電機(jī)由一對(duì)永磁體組成，在南北極之間形成固定磁場。磁場內(nèi)放置一個(gè)可繞固定軸旋轉(zhuǎn)的矩形導(dǎo)線環(huán)，使其能以不同角度切割磁力線，如下圖所示。

基礎(chǔ)單線圈交流發(fā)電機(jī)

(此處插入交流發(fā)電機(jī)示意圖)

當(dāng)線圈沿垂直于磁場的中心軸逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)時(shí)，導(dǎo)線環(huán)以不同角度切割南北極之間的磁力線。任意時(shí)刻線圈中的感應(yīng)電動(dòng)勢大小與導(dǎo)線環(huán)的旋轉(zhuǎn)角度成正比。

隨著導(dǎo)線環(huán)旋轉(zhuǎn)，電子沿環(huán)向一個(gè)方向流動(dòng)。當(dāng)導(dǎo)線環(huán)旋轉(zhuǎn)超過180°點(diǎn)反向切割磁力線時(shí)，電子流動(dòng)方向隨之改變，從而改變感應(yīng)電壓的極性。

由此可見，線圈每完成360°完整旋轉(zhuǎn)，就產(chǎn)生一個(gè)完整周期的正弦波形。線圈在磁場中旋轉(zhuǎn)時(shí)，通過碳刷和滑環(huán)將感應(yīng)電流導(dǎo)出。

線圈切割磁力線產(chǎn)生的電動(dòng)勢大小由以下三個(gè)因素決定：

1.轉(zhuǎn)速——線圈在磁場中的旋轉(zhuǎn)速度

2.強(qiáng)度——磁場的強(qiáng)度

3.長度——切割磁場的線圈或?qū)w長度

我們知道電源頻率是指每秒出現(xiàn)的周期數(shù)，單位為赫茲(Hz)。如上所示，線圈在包含南北極的磁場中每旋轉(zhuǎn)一圈產(chǎn)生一個(gè)感應(yīng)電動(dòng)勢周期，若保持恒定轉(zhuǎn)速，則每秒產(chǎn)生固定數(shù)量的周期，從而形成恒定頻率。因此提高線圈轉(zhuǎn)速將增加頻率。故頻率與轉(zhuǎn)速成正比(?∝Ν)，其中Ν=轉(zhuǎn)/分鐘(r.p.m)。

此外，我們簡單的單線圈發(fā)電機(jī)僅有兩個(gè)磁極(一北極一南極)，即一對(duì)磁極。若增加磁極數(shù)量至四個(gè)(兩北極兩南極)，則在相同轉(zhuǎn)速下每轉(zhuǎn)可產(chǎn)生兩個(gè)周期。因此頻率與磁極對(duì)數(shù)成正比(?∝P)，其中P="磁極對(duì)數(shù)"。

綜上可得交流發(fā)電機(jī)的頻率輸出公式：

其中：Ν為轉(zhuǎn)速(r.p.m)，P為"磁極對(duì)數(shù)"，60用于轉(zhuǎn)換為秒。

瞬時(shí)電壓

線圈中任意時(shí)刻的感應(yīng)電動(dòng)勢取決于切割磁力線的速率，即與發(fā)電裝置的旋轉(zhuǎn)角度θ相關(guān)。由于交流波形持續(xù)變化其幅值，每個(gè)瞬間的波形值都不相同。

例如，1ms時(shí)刻的值與1.2ms時(shí)刻的值就不同。這些值統(tǒng)稱為瞬時(shí)值(Vi)。瞬時(shí)波形值及其方向隨線圈在磁場中的位置而變化，如下圖所示。

線圈在磁場中的位移

(此處插入線圈位移示意圖)

正弦波形的瞬時(shí)值計(jì)算公式為："瞬時(shí)值=最大值×sinθ"，通用公式表示為：

其中Vmax為線圈中感應(yīng)的最大電壓，θ=ωt表示線圈隨時(shí)間變化的旋轉(zhuǎn)角度。

若已知波形峰值，通過上述公式可計(jì)算出波形各點(diǎn)的瞬時(shí)值。將這些值繪制在坐標(biāo)紙上，即可構(gòu)建出正弦波形。

為簡化計(jì)算，我們按每45°旋轉(zhuǎn)角取一個(gè)瞬時(shí)值(共8個(gè)點(diǎn))，并假設(shè)最大電壓Vmax=100V。若采用更小間隔(如每30°取12個(gè)點(diǎn)或每10°取36個(gè)點(diǎn))繪制，得到的正弦波形會(huì)更精確。

正弦波形構(gòu)建

(此處插入正弦波形圖)

通過將0°-360°旋轉(zhuǎn)位置投影到波形縱坐標(biāo)上獲得各點(diǎn)。當(dāng)導(dǎo)線環(huán)或線圈完成360°完整旋轉(zhuǎn)時(shí)，即產(chǎn)生一個(gè)完整波形。

從正弦波形圖可見：當(dāng)θ=0°、180°或360°時(shí)，因切割的磁力線最少，感應(yīng)電動(dòng)勢為零；當(dāng)θ=90°和270°時(shí)，因切割的磁力線最多，感應(yīng)電動(dòng)勢達(dá)到峰值。

因此正弦波形在90°處有正峰值，270°處有負(fù)峰值。B、D、F、H各點(diǎn)產(chǎn)生的電動(dòng)勢符合公式：e=Vmax.sinθ。

這種由簡單單環(huán)發(fā)電機(jī)產(chǎn)生的波形因其形狀符合正弦函數(shù)而被稱為正弦波。數(shù)學(xué)上表示為x(t)=Amax.sinθ。

處理時(shí)域中的正弦波(尤其是電流相關(guān)正弦波)時(shí)，橫軸單位可采用時(shí)間、角度或弧度。電氣工程中更常用弧度而非角度作為水平軸的角度量單位，例如ω=100rad/s或500rad/s。

弧度

弧度(rad)的數(shù)學(xué)定義是：圓的象限弧長等于該圓半徑(r)時(shí)的圓心角。由于圓周長為2π×半徑，故360°圓周包含2π弧度。

換言之，弧度是角度測量單位，1弧度(r)對(duì)應(yīng)的弧長在圓周上恰好出現(xiàn)2π(約6.284)次。因此1弧度=360°/2π=57.3°。在電氣工程中弧度使用非常普遍，需牢記以下公式：

弧度定義

(此處插入弧度定義圖示)

使用弧度作為正弦波形的測量單位時(shí)，360°完整周期對(duì)應(yīng)2π弧度，半個(gè)正弦波形對(duì)應(yīng)1π弧度(即π)。已知π≈3.142，因此正弦波形的角度與弧度轉(zhuǎn)換關(guān)系為：

角度與弧度關(guān)系

應(yīng)用這兩個(gè)公式可得波形各點(diǎn)對(duì)應(yīng)值：

(此處插入正弦波形弧度對(duì)應(yīng)圖)

常見正弦分析中角度與弧度的換算關(guān)系如下表：

角度與弧度對(duì)照表

發(fā)電機(jī)繞中心軸的旋轉(zhuǎn)速度決定了正弦波的頻率。當(dāng)波形頻率為?赫茲(Hz)或周/秒時(shí)，波形還具有角頻率ω(單位：弧度/秒)。正弦波的角速度公式為：

在英國，電網(wǎng)的角速度或角頻率為：

在美國，因電網(wǎng)頻率為60Hz，故為：377rad/s

至此我們明白：發(fā)電機(jī)繞中心軸的旋轉(zhuǎn)速度決定了正弦波的頻率(即角速度ω)。同時(shí)還應(yīng)知道，完成一整圈旋轉(zhuǎn)所需時(shí)間等于正弦波的周期(T)。

由于頻率與周期成反比(?=1/T)，可將頻率量替換為周期量，得到：

該式表明：正弦波的周期越短，角速度必須越大。同理，頻率越高，角速度也越高。

正弦波形示例1

已知正弦波形定義為：Vm=169.8sin(377t)伏特。計(jì)算該波形的：

1.RMS電壓

2.頻率

3.6毫秒(6ms)時(shí)的瞬時(shí)電壓值(Vi)

由正弦波通用表達(dá)式：

與給定表達(dá)式Vm=169.8sin(377t)對(duì)比可知：

峰值電壓Vmax=169.8V

RMS電壓計(jì)算為：

已知角速度ω=377rad/s，由2π?=377得頻率：

6ms時(shí)的瞬時(shí)電壓值：

注：t=6ms時(shí)的角速度以弧度表示。如需轉(zhuǎn)換為角度值計(jì)算瞬時(shí)電壓，轉(zhuǎn)換公式為：

因此正弦波分析計(jì)算的通用格式如下：

(此處插入正弦波分析通用格式圖示)

在下一篇關(guān)于相位差的教程中，我們將探討兩個(gè)同頻率正弦波之間的關(guān)系，它們以不同時(shí)間間隔通過水平零軸。