預測控制中的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略

1 引言
預測控制算法除了可以處理約束外，吸引工程人員的另一個優(yōu)點在于：作為一個多變量控制算法，預測控制中的系統(tǒng)輸入并不是僅僅和某一個特定的輸出關聯(lián)，所有的被控變量在一個體系之中。這樣就可以在系統(tǒng)由于輸入飽和、執(zhí)行機構失靈等原因造成自由度丟失后，仍可以尋找最佳控制效果，保證裝置的平穩(wěn)運行；另外如果存在多余的自由度，即在滿足控制要求的同時操縱變量可以在一定的范圍變化，這樣預測控制可以在更加經濟的狀態(tài)運行。但是傳統(tǒng)的控制策略不能夠實現(xiàn)上面的要求。
為了發(fā)揮預測控制的優(yōu)點，實現(xiàn)上面要求，需要引入新的策略。優(yōu)化+控制策略是其中比較成功的策略之一，在優(yōu)化層完成控制層的設定值計算，這一計算包括：按優(yōu)先級首先確保重點控制目標，然后是一般控制目標，最后如果仍存在多余自由度，則在保證前面控制目標的前提下進行經濟優(yōu)化。
本文在對以前所做工作進行分析后，提出了基于目標規(guī)劃理論的優(yōu)化策略，這種優(yōu)化策略和傳統(tǒng)的算法相結合可以高效、簡潔地達到上面的目的。
2 以前的工作
對R維輸入、S維輸出的系統(tǒng)，預測控制算法總是試圖求解未來M個時刻(控制時域)的控制，使模型預測輸出在未來P個時刻(優(yōu)化時域)內達到以上基本目標。最初的動態(tài)矩陣控制(DMC)可以描述如下［１］

(還包括一些其它變量，如被控變量、操縱變量的約束條件) (2)
其中，W(k)為參考軌跡，(S×P)維向量；YPM(k)為ΔUM（k)作用下模型預測輸出，(S×P)維向量；YP0(k)輸出預測初值，(S×P)維向量；A為動態(tài)矩陣，由階躍響應系數(shù)排成的(S×P)×(R×M)維矩陣；Q=block-diag(Q1，…，Qs)，Qi=diag［qi(1),…,qi(p)］,i=1,…,S。
預測控制器的操縱變量多于被控變量時，操縱變量可能存在多余的自由度。充分利用多余自由度，預測控制可以在更經濟的狀態(tài)下運行。為了利用多余自由度，需要在控制目標中引入和經濟效益相關的變量，這些變量稱為經濟變量，可以歸結為控制量的穩(wěn)態(tài)目標，如讓控制量盡量接近其理想穩(wěn)態(tài)值(Ideal Rest Value-IRV)。
基于這樣的思路將反映穩(wěn)態(tài)優(yōu)化要求的項加入到性能指標(1)中，就可以得到一種稱為綜合性能指標法的預測控制改進方法：


但綜合性能指標法也存在缺點，具體如下［２］：（1)存在大的階躍擾動時，由于目標函數(shù)可能增加太快造成控制作用被抑制，使控制作用遲緩，輸出響應偏差大和回復時間長；（2)采用綜合指標法的控制系統(tǒng)一定是瘦系統(tǒng)，當存在模型失配和擾動時，設定值yset。和uset不可能同時實現(xiàn)。由于在實際中，模型失配和擾動的存在不可避免，這樣將造成穩(wěn)態(tài)余差。

其中等式約束中的YP′M′(k)是從未來P個時刻預測值中選出的。
由于采用了分層優(yōu)化的合理結構，多目標優(yōu)化方法克服了綜合目標法的一些不足，但是這種方法對自由度減少和如何根據(jù)優(yōu)先級，實現(xiàn)對主要控制目標的優(yōu)先控制沒有涉及。這主要是由于改進算法把重點放在了如何利用“胖系統(tǒng)”的多余自由度上，沒有過多考慮“瘦系統(tǒng)”自由度不足時的情況。
Swartz［４］針對“瘦系統(tǒng)”自由度不足的情況，提出了分層監(jiān)督控制策略，在監(jiān)督控制中根據(jù)優(yōu)先級，實現(xiàn)被控輸出設定值的優(yōu)化計算。設定值通過根據(jù)優(yōu)先級定義的優(yōu)化子問題序列取得，其中每一個子問題都是一個二次規(guī)劃，其目標函數(shù)為盡可能使輸出設定值接近期望值而且在上一級優(yōu)化子問題的約束，實現(xiàn)在保證上一級優(yōu)化控制目標的前提下，進行優(yōu)先級低的優(yōu)化問題的求解。這種方法的優(yōu)點：確?？刂菩Ч?，采用分層的優(yōu)化+控制結構。這種方法的缺點主要在于多級的二次規(guī)劃求解計算量太大，另外穩(wěn)態(tài)經濟指標不能直接放入優(yōu)化問題中，這樣在存在多余自由度的情況下，經濟目標的優(yōu)化還需要其它工作。
Swartz的監(jiān)督控制策略中計算的是穩(wěn)態(tài)時的輸出設定值，而經濟指標也是穩(wěn)態(tài)優(yōu)化，所以我們結合上面所做的工作，提出了一種新的優(yōu)化+控制的兩級預測控制算法，同時實現(xiàn)穩(wěn)態(tài)優(yōu)化和動態(tài)控制。在優(yōu)化部分使用簡單的目標規(guī)劃方法，提出了包括被控輸出設定值計算和經濟指標優(yōu)化的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化測量，在動態(tài)控制部分吸取綜合指標法的優(yōu)點，增加了對穩(wěn)態(tài)經濟目標的控制而且克服了綜合指標法的缺點。這種采用線性規(guī)劃進行局部優(yōu)化、預測控制進行動態(tài)控制的算法，可以實現(xiàn)所謂胖瘦系統(tǒng)的自由轉換，在優(yōu)先保證基本控制目標的前提下，實現(xiàn)經濟目標優(yōu)化。
總的來看，以前的工作都有可取之處，但是考慮的問題具有局限性，不是僅僅考慮了多自由度下的穩(wěn)態(tài)經濟指標優(yōu)化，就是僅僅考慮了自由度不足時基本控制目標的優(yōu)先級控制。相比較而言，本文提出的改進的優(yōu)化+控制策略可以實現(xiàn)胖瘦系統(tǒng)的自由轉變，而且在按優(yōu)先級保證控制目標的前提下，追求經濟目標的最大化。
3 基于目標規(guī)劃的優(yōu)化策略
被控對象的線性穩(wěn)態(tài)模型描述如下：
Ｙ＝ＧＵ＋δ (4)
中G為穩(wěn)態(tài)增益矩陣，δ是階躍擾動對輸出影響的估計。
δ提供了一種克服不可測擾動和模型失配影響的反饋機制，擾動估計可以采用Cutler提出的方法，對于SISO系統(tǒng)：

其中y(i)表示當前測量值，u和Δu分別為括號內采樣時刻的輸入和輸入變化，ai是單位階躍響應系數(shù)，N是系統(tǒng)的模型時域。假設擾動為階躍擾動。
對于式(1)描述的系統(tǒng)，穩(wěn)態(tài)優(yōu)化的任務是根據(jù)約束和工程人員或者上一層優(yōu)化給出的控制要求和期望的經濟指標，計算預測控制中的設定值。
目標規(guī)劃［５］的目標函數(shù)是按各目標約束的正、負偏離變量和賦予相應的優(yōu)先級系數(shù)而構造的，當每一個目標值確定以后，優(yōu)化的要求是盡可能靠近目標值。優(yōu)先級需要根據(jù)實際情況給出，設共有k個優(yōu)先級，優(yōu)先級系數(shù)Pi(i=1,2，…，k)滿足P1>>P2>>…，>>Pk。一般基本控制目標比經濟目標的優(yōu)先級高主要控制目標比次要控制目標的優(yōu)先級高。在實際應用中優(yōu)先級系數(shù)只要保證優(yōu)先級可以得到體現(xiàn)即可。
如果是設定值優(yōu)化那么目標函數(shù)是minz=f(d+,d-)，如果是不大于某一個區(qū)間上限則目標函數(shù)為minz=f(d＋)，如果是不小于某一個區(qū)間下限則目標函數(shù)為minz=f(d－)，如果是區(qū)間則控制目標為上面兩種情況的綜合。其中正偏差d＋表示決策值超過目標值的部分，負偏差d－表示決策值未達到目標值的部分，相關的d+、d-必定至少一個等于０。下面結合一個實例來說明基于目標規(guī)劃的穩(wěn)態(tài)優(yōu)化策略。
例1［６］過程是由三個產品抽出和三個回流組成的重油分餾塔，塔底回流溫度是操作約束。操縱變量是塔頂和側線的抽出以及塔底的回流量。塔頂回流用來和其它裝置換熱，可以認為是可測擾動。4個輸出包括u3的理想穩(wěn)態(tài)值，輸出輸入變量如表1。
使用穩(wěn)態(tài)增益并設那么穩(wěn)態(tài)模型如式(3)描述，其中

定義穩(wěn)態(tài)優(yōu)化目標以及優(yōu)先級如表2

優(yōu)化目標中-0．5＜y3屬于區(qū)間優(yōu)化，y1＝0，y2=0屬于設定值優(yōu)化，y4=0．5屬于經濟量的ESV。
硬約束為：－0．5≤y1≤0．5；－0．5≤ui≤0．5，i=1,2