[專]電荷為何自發(fā)產(chǎn)生——第一彈

前面論述了電荷在半導(dǎo)體中的運(yùn)動(dòng)機(jī)制，即電流。

那么半導(dǎo)體中的電荷從何而來(lái)，又到哪里去呢？

我們可以將其理解為某個(gè)特定部落的人口問(wèn)題，在這個(gè)部落，人口統(tǒng)計(jì)只計(jì)算單身人口，夫妻不計(jì)入統(tǒng)計(jì)范圍內(nèi)。某天突然多出了幾個(gè)人，那么這幾個(gè)人的來(lái)歷只可能有兩種，一是外來(lái)人口（假設(shè)都是單身），二是內(nèi)部降生新生兒。同理于電荷：要么由外部流入，要么由內(nèi)部產(chǎn)生。

那么電荷的歸宿也只有兩種，要么內(nèi)部復(fù)合消失（成為夫妻，不計(jì)入統(tǒng)計(jì)范圍），要么流出到外部（外出）。我們用下圖模型表示。

?暫不考慮其他因素計(jì)算電荷變化率。

電荷變化率能幫助我們了解特定空間內(nèi)電荷的產(chǎn)生和消失狀況。電荷（以電子為例）的流入和流出就是電流，那么電流在一維X方向所引起的電荷變化率為：

其中，dn?dx為在dx范圍內(nèi)的電荷變化，單位時(shí)間的電荷變化為電荷變化率。

J_n(x)為流入電流，J_n(x+dx)為流出電流。電流密度的定義是單位時(shí)間通過(guò)單位面積的電荷總量，所以電流密度除以電荷單位就是單位時(shí)間內(nèi)變化的電荷數(shù)量。

對(duì)于絕對(duì)理想的半導(dǎo)體模型而言，上式是成立的（即僅計(jì)算外部流入人口和流出人口），但實(shí)際上半導(dǎo)體內(nèi)部因?yàn)楸菊骷ぐl(fā)會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生自有電荷（新生兒的誕生），同時(shí)因?yàn)椴牧现械碾s質(zhì)、缺陷等，自由電荷也會(huì)有壽命，即“復(fù)合”（聯(lián)姻），所以上述公式并不能用于表征實(shí)際半導(dǎo)體內(nèi)部的電荷變化情況。

既然出現(xiàn)了不確定因素，那我們就需要搞清楚這個(gè)不確定因素是如何出現(xiàn)的，即電荷為何會(huì)自發(fā)產(chǎn)生，又為何為自發(fā)復(fù)合。

?首先來(lái)看為什么會(huì)電荷會(huì)自發(fā)地產(chǎn)生。

若要嚴(yán)謹(jǐn)?shù)赝茖?dǎo)電荷產(chǎn)生的過(guò)程，需要固體物理和量子力學(xué)的基本知識(shí)，嚴(yán)格求解薛定諤方程，過(guò)程會(huì)比較晦澀，教科書(shū)上都能找到詳細(xì)推導(dǎo)過(guò)程。但若完全脫離這些基礎(chǔ)，又難以講清來(lái)龍去脈。這里嘗試將其、中比較關(guān)鍵的物理概念以及他們的邏輯關(guān)系提煉出來(lái)，以便讀者理解。

基本邏輯是：自由空間的電子→周期空間的電子→能帶（導(dǎo)帶&價(jià)帶）→費(fèi)米分布→電子態(tài)密度→電子濃度，此次先講自由空間的電子和周期空間的電子。

首先，微觀粒子具有波粒二象性，這是大家熟知的，因此電子的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)可以用波函數(shù)來(lái)表示。

我們想象在一維空間中（只有x方向）有兩種處于不同環(huán)境的電子，一是處于自由空間的電子，傳輸過(guò)程中沒(méi)有任何邊界；二是處于周期排布空間的電子（晶體材料的原子都是周期排布）。

由于測(cè)不準(zhǔn)原理（位置和速度不能同時(shí)為確定值），兩種環(huán)境中的電子在某個(gè)x位置只能以存在概率來(lái)表達(dá)，那么自由空間和周期排布空間的電子的存在概率分別如何呢？

①對(duì)于自由空間中的電子，其電子波函數(shù)表達(dá)式為：

其中，，物理名稱為“波矢”，也就是代表了電子波函數(shù)的傳播方向，λ為電子波函數(shù)的波長(zhǎng)。

用以表示電子出現(xiàn)在x位置的概率，

,A為振幅。對(duì)于自由空間的電子波函數(shù)，A為常數(shù)，所以電子在自由空間中各個(gè)位置出現(xiàn)的概率相同，也就是說(shuō)電子在自由空間可以自由運(yùn)動(dòng)。

②對(duì)于處于周期排布空間的電子，假設(shè)周期為a, a_n=n?a,那么其波函數(shù)也相應(yīng)為周期性，可表達(dá)為：

注意，電子在每個(gè)周期a內(nèi)的波函數(shù)受調(diào)制，而A(x)不是常數(shù)，所以電子在一個(gè)周期內(nèi)各位置出現(xiàn)的概率不同，但電子在不同周期之間的相對(duì)位置卻是重復(fù)的。

將x=x+a_n帶入，我們發(fā)現(xiàn)周期性電子波函數(shù)成立的必要條件是。

對(duì)比自由空間電荷的波矢k和周期性空間的波矢k_n，可以發(fā)現(xiàn)，周期性空間導(dǎo)致波矢出現(xiàn)了離散化。（需要注意的是，兩種空間的波矢k物理意義有所不同，前者表示的單個(gè)電子波函數(shù)，而后者描述的是一個(gè)周期內(nèi)的波函數(shù)）。

由于k的離散化，電子的能量隨k的變化也會(huì)發(fā)生離散化。量子力學(xué)對(duì)微觀粒子的能量表達(dá)式為：

其中，h為普朗克常數(shù)。（將?（x）表達(dá)式代入薛定諤方程就可得出，在此不做贅述）。因此自由電子能量E與波矢k成拋物線關(guān)系，是連續(xù)分布的，如下圖所示。

而將拋物線的k坐標(biāo)離散化k_n，就會(huì)將連續(xù)E曲線離散為能級(jí)，且能級(jí)在每個(gè)周期內(nèi)聚集，周期交接處會(huì)出現(xiàn)間隙，如下圖所示。

半導(dǎo)體物理中就將聚集的能級(jí)稱為能帶，即電子可以存在的地方；而周期交接處的間隙稱為禁帶，即電子不能存在的地方。

文末總結(jié)

1.理想狀態(tài)下電流在一維X方向所引起的電荷變化率：

2.非理想狀態(tài)下，存在電荷自發(fā)產(chǎn)生和自發(fā)復(fù)合的現(xiàn)象，因此提出“電荷為何會(huì)自發(fā)產(chǎn)生”的問(wèn)題。

3.解答問(wèn)題的第一步：分析自由空間和周期排布空間的電子的存在概率。

4.得到結(jié)論：自由空間中電子在各個(gè)位置出現(xiàn)的概率相同；周期排布空間中電子在一個(gè)周期內(nèi)各位置出現(xiàn)的概率不同，但在不同周期之間的相對(duì)位置相同。

5.通過(guò)對(duì)比自由空間電荷的波矢k和周期性空間的波矢k_n，發(fā)現(xiàn)周期空間內(nèi)電子的能量隨k的變化發(fā)生離散化，進(jìn)而引出能帶和禁帶的基本概念。